Trasformazione di Householder

Dato un vettore {a} e un versore{v} la matrice di Householder e' una matrice [H] tale che il prodotto [H]{a} trasforma il vettore {a} in un vettore {b}={H]{a} simmetrico di {a}, sul piano definito dai vettori {v} e {a}, rispetto al piano perpendicolare al versore {v}
La matrice di Householder si esprime nella forma:

[H] = [I] - 2·{v}·{v^T}

ovvero:

Tramite la suddetta espressione si puo' definire la matrice [H] in grado di riflettere un qualunque vettore rispetto al piano ortognale ad un certo versore {v} di componenti v1, v2, ..., vn. Piu' spesso si desidera definire la matrice [H] in modo tale che il vettore riflesso, relativo ad un assegnato vettore {a}, risulti parallelo ad uno degli assi del sistema di riferimento. In questo caso l'incognita non e' il vettore riflesso bensi' il piano di riflessione, ovvero il versore {v} ad esso perpendicolare.
Relativamente alla situazione sul piano definito dal versore {v} e dal vettore da riflettere {a} vale l'equazione vettoriale {a}={b}+{c}
Ma il vettore {c} e' parallelo al versore {v} e pertanto puo' essere scritto nella forma c{v}
Conseguentemente si puo' ricavare:

Il vettore {a} e' noto. Il vettore riflesso {b} deve avere lo stesso modulo del vettore {a} onde per cui risulta b=sqrt(a₁²+a₂²+ ... a_n²)
Per quanto riguarda il denominatore l'espressione riportata fa riferimento alla figura di sinistra. Per evitare che (nel caso in cui {v} risulti perpendicolare ad {a}) si annulli il denominatore si assume il segno di b contrario a quello di a₁ il che equivale ad assumere il vettore {b} contrapposto alla componente a1 di {a} ovvero considerare la riflessione realizzata come per la figura di destra.

Le relazioni precedenti sono relative alla scelta di desiderare che il vettore riflesso risulti giacente sul primo asse del sistema di riferimento. Relazioni similari valgono nel caso in cui si decidesse di voler ottenere un vettore riflesso giacente su uno degli altri assi di riferimento.
I controlli sottostanti consentono di immettere una matrice [A] m*n nonche' un suo termine a_i,j e di calcolare una matrice [H] m*m tale che nella matrice prodotto [H]·[A] risultano nulli tutti i termini a colonna j eccetto il termine a rigo i. Vengono forniti in output la matrice [H] (quadrata m*m) e, per controllo, il prodotto matriciale [H]·[A]

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