Decomposizione LU (m=n)

Questa pagina consente di eseguire la decomposizione LU di una matrice quadrata [A] di n righe e n colonne.
Ovvero, per una assegnata matrice [A], si determina una matrice triangolare bassa [L] e una matrice triangolare alta [U] tale che risulta :

[A]=[L]·[U]

Le incognite del problema di decomposizione sono i coefficienti delle matrici [L] e [U], in numero di n²+n.
Le equazioni disponibili sono pero' n². Pertanto si conviene di assumere con valore unitario tutti i termini diagonali della matrice [L] o della matrice [U]
Ne derivano 2 metodi di calcolo alternativi:

• metodo di Doolittle, assumendo unitari i coefficienti diagonali della matrice [L]
• metodo di Crout, assumendo unitari i coefficienti diagonali della matrice [U]

Qui verra' utilizzato il metodo di Doolittle che corrisponde alle seguenti 2 equazioni:

di cui la prima vale per per i≤j e la seconda per i>j
per il metodo di Crout le relazioni da impiegare sono, invece, le seguenti:

Dalle relazioni di Doolittle si nota che quando si vanno a calcolare i termini l_i,j si deve aver gia' calcolato il termine u_j,j. Pertanto e' necessario aver prima calcolato u_i,j la qual cosa comporta procedere per colonne, ovvero utilizzare un loop esterno per righe e un loop interno per colonne. Se si usano le relazioni di Crout e' necessario invece calcolare prima i coefficienti l_i,j e pertanto procedere per righe.
Sempre dalle relazioni di Doolittle si nota anche che quando si vanno a calcolare u_i,j e l_i,j si utilizzano coefficienti l_i,k relativi a colonne precedenti sulla stessa riga e coefficienti u_i,k relativi a righe precedenti sulla stessa colonna. Inoltre il termine matriciale a_i,j non serve piu' dopo aver calcolato u_i,j e l_i,j
Pertanto si possono memorizzare i coefficienti delle matrici [L] e [U] al posto dei coefficienti della matrice [A] tralasciando i termini diagonali unitari, che sono quelli della matrice [L] nel caso di Doolittle o della matrice [U] nel caso di Crout.

Per un esempio di decomposizione immettere la matrice da decomporre, dopo averne fissate le dimensioni, e attivare il calcolo agendo sul pulsante Eval.
Una operazione illecita sarebbe la divisione per un coefficiente u_j,j o l_i,i nullo. Nel caso della decomposizione LU applicata alla risoluzione di un sistema lineare, in un caso del genere, il programma proverebbe ad eseguire operazioni di scambio righe o di colonne (pivoting) essendo lo scopo del problema la risoluzione del sistema di equazioni lineari. In questo caso si suppone che l'utente voglia decomporre la matrice fornita in input, pertanto non vengono eseguite operazioni di scambio righe o scambio colonne e se l'operazione di calcolo e' impossibile il programma termina per errore.

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