Decomposizione QR (metodologia di Householder)

Questa pagina consente di eseguire la decomposizione QR di una matrice [A] di m righe e n colonne utilizzando la trasformazione di Householder.
Ovvero, per una assegnata matrice [A] m*n, si determina una matrice ortogonale [Q] m*m e una matrice triangolare alta [R] m*n tale che risulta :

[A]=[Q]·[R]

Dire che una matrice [Q] e' ortogonale vuol dire che [Q]·[Q^T]=[I] (proprieta' delle matrici ortogonali). Nel caso particolare che la matrice [Q] e' quadrata l'ortogonalita' equivale a dire che l'inversa coincide con la trasposta.

Si esegue un loop dei termini diagonali della matrice [A] di input fino al termine diagonale n, nel caso risulti m>n, ovvero fino al termine m-1 negli altri casi. Ad ogni passo si considera la corrispondente submatrice inferiore destra e si determina la trasformazione di Householder che annulla tutti i termini del primo vettore colonna della submatrice eccetto il primo termine. In effetti, per semplificare i calcoli, le varie matrici di Householder vengono estese dalla dimensione della submatrice cui sono relative alla dimensione m*m completandole con la matrice identica nella parte superiore sinistra. In questo modo le varie matrici di Householder estese si possono utilizzare per premoltiplicare la matrice [A] e per postmoltiplicare la matrice identica senza che i suddetti prodotti matriciali vengano ad alterare i termini precedentemente calcolati.
Operando in questo modo la matrice di input [A] viene progressivamente trasformata nella matrice triangolare alta [R] mentre la matrice [Q] viene conformata come produttoria delle postmoltiplicazioni delle varie matrici di Householder estese a partire dalla matrice identica m*m.

Per un esempio immettere la matrice da decomporre e attivare il calcolo agendo sul pulsante Eval
I valori di input m e n devono essere non inferiori a 2.

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