Note Travature

Note di calcolo: metodo della matrice di rigidezza applicato al calcolo delle travature

Si vogliono ricavare le relazioni per risolvere una travatura con il metodo della matrice di rigidezza. Si fa l'ipotesi che i carichi agenti sulla travatura siano applicati soltanto nei nodi e che in ogni nodo tutte le aste concorrenti siano vincolate a cerniera.
Il sistema di riferimento globale Oxy risulta destrorso con asse x orizzontale diretto da sinistra verso destra e asse y verticale diretto dal basso verso l'alto. Il sistema di riferimento locale coincide con l'asse dell'asta nel verso di percorrenza dal primo nodo al secondo nodo.
Indichiamo con:

U_jx, U_jy, U_kx, U_ky le componenti di spostamento dei 2 nodi terminali nel sistema di riferimento globale (positivi se diretti nel verso positivo degli assi x,y)
u_j, u_k le componenti di spostamento dei 2 nodi terminali nel sistema di riferimento locale (il verso positivo e' quello che va dal primo nodo verso il secondo nodo)
θ l'inclinazione dell'asta j-k rispetto all'asse x e nel verso di rotazione antiorario
L la lunghezza dell'asta j-k
ΔL la variazione di lunghezza dell'asta j-k
N lo sforzo assiale costante nell'asta j-k (positivo se di trazione)
F'_jk e F'_kj le azioni che i nodi terminali j,k della travatura esercitano sulle sezioni di estremita' dell'asta j-k (se il valore di calcolo e' positivo l'asta risulta tesa)
F_jk e F_kj le azioni che le sezioni di estremita' dell'asta j-k esercitano sui rispettivi nodi terminali (se il valore e' positivo l'azione dell'asta sul nodo e' diretta verso il secondo nodo)
F_jx , F_jy , F_kx , F_ky le componenti, nel sistema di riferimento globale, delle azioni che le sezioni di estremita' dell'asta j-k esercitano sui rispettivi nodi terminali (questi valori vanno usati per scrivere le equazioni di equilibrio nodali)
E il modulo elastico del materiale con cui e' realizzata l'asta j-k

Le relazioni che esprimono le componenti di spostamento nel sistema di riferimento locale in funzione delle componenti di spostamento nel riferimento globale risultano:

u_j = U_jx·cos θ + U_jy·sin θ
u_k = U_kx·cos θ + U_ky·sin θ

che in forma matriciale diventa (eq_1):

ponendo (eq_2):

si ottiene (eq_3):

le relazioni per passare dal riferimento locale a quello globale risultano invece:

U_jx = u_j·cos θ
U_jy = u_j·sin θ
U_kx = u_k·cos θ
U_ky = u_k·sin θ

ovvero, in forma matriciale (eq_4):

ponendo (eq_5):

si ottiene (eq_6):

essendo le aste scariche esse risultano sollecitate solo a sforzo normale e la variazione di lunghezza risulta:

ΔL = N·L/(E·A)

ponendo k=EA/L (rigidezza a sforzo normale dell'asta) lo sforzo assiale nell'asta assume la forma N = k·ΔL ovvero anche (nel sistema di riferimento locale):

N = k·(u_k-u_j)

esprimendo l'allungamento dell'asta in funzione delle componenti di spostamento dei 2 nodi terminali nel sistema di riferimento globale si ottiene:

N = k·[(U_kx-U_jx)·cos θ+(U_ky-U_jy)·sin θ]

relazione che potra' essere utile per determinare gli sforzi assiali nelle aste dopo aver definito i valori degli spostamenti nodali.

Se indichiamo con F '_jk e F '_kj le azioni che i nodi j e k esercitano sulle estremita' dell'asta j-k e desideriamo che tali azioni siano valutate positive quando l'asta e' tesa e' necessario che lo spostamento del secondo nodo sia maggiore del primo. Pertanto le relazioni sono le seguenti:

F '_jk = k·(u_k-u_j)
F '_kj = k·(u_j-u_k)=-k·(u_k-u_j)

Se con F_jk e F_kj si indicano invece le azioni che le sezioni terminali dell'asta j-k esercitano sui rispettivi nodi terminali le relazioni precedenti vanno cambiate di segno e risultano:

F_jk = k·(u_j-u_k)
F_kj = -k·(u_j-u_k)

Esprimendo queste ultime 2 equazioni in forma matriciale si ottiene (eq_7):

relazione che esprime le azioni che l'asta jk esercita sui nodi terminali j e k valutate nel sistema di riferimento locale orientato dal primo nodo verso il secondo nodo.
Esprimendo gli spostamenti dei nodi terminali in funzione delle componenti di spostamento nel sistema di riferimento globale si ottiene (eq_8):

Le forze nodali di estremita' si possono esprimere anche in funzione delle componenti el sistema di riferimento globale usando relazioni identiche a quelle gia' trovate per gli spostamenti. Si ottiene (eq_9):

premoltiplicando ambo i membri per [RLTOG] si ottiene (eq_10):

ovvero (eq_11):

avendo posto (eq_12):

L'espressione della matrice [KROD] si puo' calcolare agevolmente e risulta (eq_13):

avendo posto s=sin β e c=cos β

Si tratta ora di utilizzare la (11) per ricavare le forze nodali alle estremita' di tutte le aste che concorrono in un certo nodo e sommarne i valori onde imporre le equazioni di equilibrio alla traslazione orizzontale e verticale nel nodo.
L'assemblaggio di tutte le equazioni porta al seguente sistema (eq_14):

[KTRUSS]·{U}={TN}

ove [KTRUSS] e' una matrice 2n*2n (se n e' il numero dei nodi della travatura) mentre {U} e {TN} sono 2 vettori di 2n termini i cui termini sono le componenti, nel sistema di riferimento globale, delle componenti di spostamento nodale e delle forze esterne nodali cambiate di segno.
Utilizzando la (11) e' possibile esprimere le componenti, nel sistema di riferimento globale, delle forze nodali che le estremita' di tutte le aste j-k esercitano sui propri nodi terminali j e k.
Ad ogni nodo della travatura corrispondono 2 equazioni di equilibrio: una alla traslazione orizzontale e l'altra alla traslazione verticale. I nodi della travatura sono indicizzati esternamente a partire da 1 ma internamente gli indici di memorizzazione iniziano da 0. Conseguentemente supponendo di scrivere le 2*n equazioni di equilibrio a 2 a 2, ponendo prima quella di equilibrio alla traslazione orizzontale e poi quella di equilibrio alla traslazione verticale, e similmente ordinando in coppie i coefficienti degli spostamenti nodali ponendo prima quello relativo allo spostamento orizzontale e poi quello relativo allo spostamento verticale, gli indici di memorizzazione in somma per i coefficienti relativi all'asta generica j-k nella matrice [KTRUSS] risultano quelli riportati nel seguente schema:

	2j+0	2j+1	2k+0	2k+1
2j+0	k c²	k s c	-k c²	-k s c
2j+1	k s c	k s²	-k s c	-k s²
2k+0	-k c²	-k s c	k c²	k s c
2k+1	-k s c	-k s²	k s c	k s²

A secondo membro della equazione (14) e relativamente al nodo generico j la locazione dei termini noti deve avvenire in base al seguente schema:

	TN
2j+0	F_jx
2j+1	F_jy

essendo F_jx e F_jy le componenti della forza nodale concentrata F_j agente nel nodo j, secondo le direzioni x,y rispettivamente (positive se concordi con il verso positivo degli assi del riferimento globale x,y).

Per poter risolvere l'equazione (14), e determinare cosi' gli spostamenti dei nodi della travatura, e' necessario imporre le condizioni al contorno (ovvero le condizioni sui nodi vincolati).
I nodi possono essere vincolati perfettamente, oppure ci puo' essere un cedimento plastico o elastico del vincolo.
Per procedere alla risoluzione e' necessario prima modificare certe righe nella matrice [KTRUSS] e nel vettore dei termini noti {TN}.
Si procede in questo modo:

se il nodo e' vincolato perfettamente vanno annullati tutti i coefficienti di rigo nella matrice [KTRUSS] eccetto quello corrispondente allo spostamento nodale (che va posto a 1). Inoltre il termine di rigo nel vettore {TN} deve essere settato a zero
se il nodo e' vincolato plasticamente si procede esattamente nello stesso modo per la matrice [KTRUSS]. A secondo membro invece, il termine corrispondente nel vettore {TN} va posto pari al cedimento plastico del nodo (valore noto) anziche annullato
se il nodo e' vincolato elasticamente il corrispondente rigo della matrice [KTRUSS] va modificato aggiungendo in somma, al termine diagonale, il coefficiente di cedimento elastico c del vincolo. Il corrispondente termine nel vettore {TN} va lasciato invariato.

Risolvendo il sistema (14) , dopo aver modificato nel modo detto la matrice [KTRUSS] e il vettore dei termini noti {TN}, si ottiene il vettore {U} delle componenti di spostamento nodali nel sistema di riferimento globale.

Se {TN} e' il vettore dei termini noti e se la soluzione deformativa viene fornita nello stesso vettore {TN} in cui si sono inizialmente inseriti i termini noti, la soluzione deformativa risulta:

U_jx = TN(2·j+0)

U_jy = TN(2·j+1)

U_kx = TN(2·k+0)

U_ky = TN(2·k+1)

Tramite queste ultime relazioni si determinano le componenti di spostamento di tutti i nodi della travatura nel sistema di riferimento globale.
Applicando successivamente l'equazione (3) si deducono gli spostamenti nodali u_j e u_k dei nodi terminali, j,k delle varie aste della travatura nel sistema di riferimento locale. Si determina infine lo sforzo assiale N tramite la relazione:

N_jk = k·(u_k-u_j)

risultando l'asta tesa se N_jk>0 ovvero compressa se N_jk<0
Per determinare le reazioni vincolari basta imporre l'equilibrio alla traslazione orizzontale e verticale, nei nodi vincolati, tra le reazioni vincolari incognite e le componenti, secondo gli assi x e y, degli sforzi assiali nelle aste della travatura confluenti nel nodo vincolato.

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