Note di calcolo: sforzi secondari in una travatura reticolare
Supponiamo di aver gia' risolto una travatura reticolare nella ipotesi che le aste siano tutte incernierate nei nodi. Abbiamo pertanto determinato gli spostamenti orizzontali e verticali ξ, η di tutti i nodi e, tramite questi valori, le rotazioni rigide ψ di tutte le aste.
Consideriamo ora un generico nodo i della travatura . A tale nodo si collegano m aste e sia j il nodo terminale di una generica asta confluente nel nodo i.
Facciamo ora l'ipotesi opposta, ovvero supponiamo che le aste siano saldamente vincolate tra loro nei nodi in modo tale che l'angolo tra le aste non puo' variiare a seguito della deformazione.
In tal caso la rotazione del generico nodo i e' univoca e tutte le aste che confluiscono nel nodo i ruotano di uno stesso angolo φi a seguito della deformazione.
Se immaginiamo di svincolare la generica asta i-j e indichiamo con Mi e Mj i momenti di continuita' che i nodi terminali i e j esercitano sulle sezioni terminali dell'asta i-j si verifica la situazione indicata in figura (supponendo Mi e Mj positivi e percio' antiorari)
Se indichiamo inoltre con φi e φj le rotazioni dei nodi terminali e ψ la rotazione rigida (nota) dell'asta i-j valgono queste relazioni:
avendo indicato con s la lunghezza dell'asta e con EJ la rigidezza flessionale (tutti i termini non indicizzati si riferiscono all'asta i-j)
Risolvendo il precedente sistema rispetto a Mi e Mj si ottiene (eq_1):
Siccome per risolvere il problema statico andremo a scrivere delle equazioni di equilibrio nodali alla rotazione ci interessano i momenti che le estremita' dell'asta i-j esercitano sui nodi terminali i,j. Tali valori sono espressi dalle 2 relazioni precedenti cambiate di segno (eq_2):
Visto che nei nodi della travatura agiscono solo carichi concentrati, l'equazione di equilibrio alla rotazione nel nodo i si riduce ad imporre che sia nulla la somma dei momenti Mi per tutte le aste che confluiscono nel nodo i. Indicando con k il nodo terminale di una generica asta confluente nel nodo i e con m il numero delle aste complessivamente confluenti ne risulta l'equazione di equilibrio:
ovvero (eq_3):
I coefficienti di tutte queste equazioni di equilibrio nodali e i relativi termini noti andranno a conformare un sistema di equazioni risolventi di questo tipo (eq_4):
[KR]·{φ}={TNR}
Se n sono i nodi della travatura le equazioni di equilibrio sono in numero di n e pertanto la matrice [KR] e' una matrice quadrata n*n e {TNR} e' un vettore di n termini.
Usando una indicizzazione esterna per i nodi della travatura che inizia da 1 ma una indicizzazione interna relativa agli indici di riga e di colonna che inizia da 0 avremo che l'indice di riga dei coefficienti della equazione di equilibrio alla rotazione relativa al nodo i risulta:
IR=i-1
e l'indice di colonna del coefficiente della generica rotazione incognita φk risulta:
IC=k-1
Risolvendo il sistema (4) si ottiene il vettore delle rotazioni dei vari nodi della travatura. Sostituendo poi tali valori nelle equazioni (1) si ottengono i momenti flettenti che i nodi esercitano sulle sezioni terminali di ciascuna asta (tali coppie saranno antiorarie se positive e orarie se negative)
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