Reazioni di Incastro Perfetto
A seguire vengono riportate le formule per il calcolo della reazioni di incastro perfetto proponendo anche una metodologia, che si ritiene ottimale, per l'input dei carichi in un programma di calcolo strutturale.
Si conviene di indicare:
- j,k gli indici terminali dell'asta (orientata dal primo nodo j verso il secondo nodo k)
- α inclinazione dell'asta orientata j-k rispetto all'asse x del sistema di riferimento globale, nel verso positivo antiorario
- qy, qx i carichi ripartiti verticali e orizzontali agenti sull'asta (valutati positivi se diretti nel verso positivo degli assi del sistema di riferimento globale Oxy)
- Py, Px i carichi concentrati verticali e orizzontali agenti sull'asta (valutati positivi se diretti nel verso positivo degli assi del sistema di riferimento globale Oxy)
- s la lunghezza dell'asta j-k
- r, r1, r2 le distanze di definizione dei carichi valutate lungo la pendenza dell'asta e a partire dal primo nodo j
- E modulo di elasticita' dell'asta j-k
- J momento di inerzia della sezione trasversale dell'asta j-k
- A sezione trasversale dell'asta j-k
- αt modulo di variazione termica lineare dell'asta j-k
- ΔTe variazione termica all'estradosso dell'asta j-k
- ΔTi variazione termica all'intradosso dell'asta j-k
- h distanza estradosso-intradosso riferita alla sezione trasversale dell'asta j-k
Risolvere una struttura con il metodo della matrice di rigidezza comporta il problema di dover scrivere delle equazioni di equilibrio nodali in cui compaiono, come termini noti, sia le azioni nodali esterne che, per le aste caricate, le reazioni di incastro perfetto. Le forze esterne nodali vanno specificate, in modo del tutto ovvio, in riferimento al sistema di riferimento globale. Sorgono invece dei problemi per quanto riguarda il calcolo delle reazioni di incastro perfetto perche' tale calcolo va fatto nel sistema di riferimento locale ma non e' pero' pratico immettere i carichi esterni definendoli rispetto al sistema di riferimento locale perche' le aste sono generalmente inclinate e, cosi' facendo, si sarebbe obbligati a definire il segno dei carichi in relazione a ciascuna asta. Pertanto il segno dei carichi esterni agenti sulle varie aste va definito rispetto al sistema di riferimento globale, sara' poi il calcolo interno a ricavare la pendenza dell'asta (note le coordinate nodali) e a dedurre il giusto segno dei carichi rispetto al sistema di riferimento locale della relativa asta.
Per un'asta inclinata di un angolo α rispetto all'orizzontale e sottoposta ad un carico concentrato esterno P con componenti Px, Py nel sistema di riferimento globale si possono dedurre le corrispondenti componenti Pt, Pn nel sistema di riferimento locale tramite la relazione:
Si puo controllare che questa relazione fornisce il giusto segno per le componenti locali Pt, Pn considerando i 4 possibili quadranti in cui puo' ricadere l'inclinazione di una generica asta inclinata e assumendo i corrispondenti segni per i valori delle funzioni trigonometriche.
Per effettuare la riduzione al sistema di riferimento locale di un carico ripartito generico di componenti qx, qy nel sistema di riferimento globale va invece utilizzata la seguente relazione:
che e' formalmente identica alla precedente, come e' giusto che sia, perche' e' del tutto identica la convenzione sui segni ma sussiste un adeguamento in modulo perche' nel passare da carico ripartito orizzontale o verticale a carico ripartito lungo la pendenza dell'asta la zona di ripartizione aumenta da dx o dy a ds.
Non e' invece necessario applicare alcuna formula di riduzione per quanto riguarda le sollecitazioni di coppia concentrata M e variazione termica.
Volendo sarebbe anche possibile invertire le precedenti relazioni ma, al momento, non esiste alcun interesse ad esprimere nel riferimento globale dei carichi rappresentati nel sistema di riferimento locale.
A conti fatti le relazioni da impiegare per il calcolo delle reazioni di incastro perfetto nel sistema di riferimento locale risultano le seguenti:
CARICO RIPARTITO UNIFORME:
CARICO CONCENTRATO:
CARICO RIPARTITO TRAPEZIO:
avendo posto:
COPPIA CONCENTRATA:
VARIAZIONE TERMICA:
E' necessario rimarcare che le precedenti formule esprimono le reazioni di incastro perfetto dell'asta j-k nel sistema di riferimento locale t,n ovvero esprimono le azioni che i nodi terminali j,k esercitano sulle sezioni terminali j,k dell'asta valutate positive se dirette nel verso positivo degli assi di riferimento locale t,n (antiorarie se positive, in quanto coppie).
Questo fatto comporta che se si intende utilizzare le precedenti formule per scrivere delle equazioni di equilibrio nodali si devono prendere i relativi valori cambiandone il segno (onde ottenere le azioni che le sezioni terminali dell'asta j-k esercitano sui corrispondenti nodi)
Comunque le equazioni di equilibrio nodali andranno scritte nel sistema di riferimento globale Oxy. Pertanto, nel far questo, risulta necessario trasformare prima le reazioni di incastro perfetto dal sistema di riferimento locale al sistema di riferimento globale facendo uso della seguente formula di trasformazione:
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