Note di calcolo: metodo delle deformazioni
Quella indicata in figura e' la generica asta di una struttura (in questo caso una trave piegata).
L'asta va considerata orientata dal nodo j al nodo k. Il sistema di riferimento locale dell'asta Jξη e' destrorso con l'asse delle ascisse coincidente con il verso positivo j->k fissato sull'asta.
Il sistema di riferimento globale Oxy viene assunto anch'esso destrorso e con asse x orizzontale e diretto da sinistra verso destra.
Una simile scelta portera' poi a dover generalmente introdurre con segno negativo i carichi verticali che, di norma, sono diretti verso il basso. D'altronde appare questa la soluzione migliore perche' il sistema di riferimento globale Oxy, per consuetudine, risulta destrorso e con asse x orizzontale e diretto da sinistra verso destra e non appare il caso di assumere poi un sistema di riferimento locale sinistrorso perche' si creerebbe confusione relativamente al verso positivo delle rotazioni (antiorario nel riferimento globale e orario nel riferimento locale).
In figura sono indicate le reazioni che i nodi J e K esercitano sulle estremita' della trave orientata J-K. Le coppie di estremita' Mjk e Mkj sono assunte positive, e quindi antiorarie, le reazioni taglianti T hanno il verso consequenziale a quello assunto per le coppie, infine relativamente allo sforzo assiale N (che risulta anch'esso una incognita del problema) per poter stabilire il verso delle reazioni nodali deve essere fatta una ipotesi. Qui si suppone di considerare lo sforzo assiale N nelle aste positivo se di compressione e, in base a tale assunzione, le reazioni dei nodi J e K sulle estremita' dell'asta J-K hanno il verso indicato in figura.
Per una simile asta andiamo ad esprimere le forze nodali necessarie ad imporre una certa deformazione.
In riferimento alla precedente figura indichiamo con:
- s la lunghezza dell'asta j-k
- E il modulo elastico dell'asta j-k
- J il momento di inerzia dell'asta j-k
- φj la rotazione complessiva finale del nodo j
- φk la rotazione complessiva finale del nodo k
- ψ la rotazione rigida dell'asta j-k (per rotazione rigida si intende l'angolo di rotazione della congiungente la posizione finale dei nodi J e K rispetto alla posizione iniziale indeformata dell'asta)
A priori tutte le rotazioni citate vengono considerate positive, e percio' antiorarie. Se il risultato del calcolo sara' positivo vorra' dire che quelle rotazioni risultano essere effettivamente antiorarie, come ipotizzato, altrimenti saranno orarie.
Alle coppie di estremita' Mjk e Mkj risultano rispettivamente imputabili le rotazioni differenziali (φj-ψ) e (φk-ψ). Nel caso che la trave j-k sia di sezione costante (come qui si suppone) si puo' scrivere:
φj-ψ = (Mjk⋅s)/(3⋅E⋅J) - (Mkj⋅s)/(6⋅E⋅J)
φk-ψ = (Mkj⋅s)/(3⋅E⋅J) - (Mjk⋅s)/(6⋅E⋅J)
risolvendo rispetto ai momenti di estremita' si ottiene:
Mjk = (2⋅E⋅J/s)⋅(2⋅φj+φk-3⋅ψ)
Mkj = (2⋅E⋅J/s)⋅(2⋅φk+φj-3⋅ψ)
e di conseguenza risulta:
T = (Mjk + Mkj)/s = (6⋅E⋅J/s2)⋅(φj+φk-2⋅ψ)
a questo punto possiamo esprimere le reazioni dei nodi J e K sulle estremita' dell'asta j-k nel sistema di riferimento globale:
Hjk = N⋅cos α -T⋅sin α = N⋅cos α -(6⋅E⋅J/s2)⋅sin α ⋅(φj+φk-2⋅ψ)
Vjk = N⋅sin α +T⋅cos α = N⋅sin α +(6⋅E⋅J/s2)⋅cos α ⋅(φj+φk-2⋅ψ)
Hkj = -N⋅cos α +T⋅sin α = -N⋅cos α +(6⋅E⋅J/s2)⋅sin α ⋅(φj+φk-2⋅ψ)
Vkj = -N⋅sin α -T⋅cos α = -N⋅sin α -(6⋅E⋅J/s2)⋅cos α ⋅(φj+φk-2⋅ψ)
Quelle sopra calcolate sono le reazioni dei nodi J e K sulle estremita' dell'asta j-k
Per scrivere le equazioni di equilibrio nodali occorrono le espressioni delle azioni che le estremita' dell'asta j-k esercitano sui nodi terminali J e K in cui l'asta confluisce. Si tratta quindi di cambiar segno a tutte le relazioni precedenti. A seguire si riportano tutte le relazioni precedenti dopo la modifica:
Mjk = -(2⋅E⋅J/s)⋅(2⋅φj+φk-3⋅ψ)
Mkj = -(2⋅E⋅J/s)⋅(2⋅φk+φj-3⋅ψ)
Hjk = -N⋅cos α +(6⋅E⋅J/s2)⋅sin α ⋅(φj+φk-2⋅ψ)
Hkj = N⋅cos α -(6⋅E⋅J/s2)⋅sin α ⋅(φj+φk-2⋅ψ)
Vjk = -N⋅sin α -(6⋅E⋅J/s2)⋅cos α ⋅(φj+φk-2⋅ψ)
Vkj = N⋅sin α +(6⋅E⋅J/s2)⋅cos α ⋅(φj+φk-2⋅ψ)
Queste sono le relazioni da impiegare per scrivere le equazioni di equilibrio nodali (alla rotazione, alla traslazione orizzontale e alla traslazione verticale) nel sistema di riferimento globale.
Ovviamente verranno coinvolte tutte le aste che confluiscono nel nodo in cui si vanno a scrivere le 3 equazioni di equilibrio. Il caso della trave piegata risulta particolarmente semplice perche' in tutti i nodi intermedi confluiscono sempre 2 aste.
Indicando con J il nodo in cui si vanno a scrivere le 3 equazioni di equilibrio, con I il nodo che precede e con K quello che segue, si ricavano agevolmente le 6 componenti di sforzo che le sezioni terminali delle 2 aste confluenti nel nodo J esercitano sul nodo J stesso.
Mji = -(2⋅E⋅J/s)⋅(2⋅φj+φi-3⋅ψ)
Mjk = -(2⋅E⋅J/s)⋅(2⋅φj+φk-3⋅ψ)
Hji = N⋅cos α -(6⋅E⋅J/s2)⋅sin α ⋅(φj+φi-2⋅ψ)
Hjk = -N⋅cos α +(6⋅E⋅J/s2)⋅sin α ⋅(φj+φk-2⋅ψ)
Vji = N⋅sin α +(6⋅E⋅J/s2)⋅cos α ⋅(φj+φi-2⋅ψ)
Vjk = -N⋅sin α -(6⋅E⋅J/s2)⋅cos α ⋅(φj+φk-2⋅ψ)
A termine noto del suddetto sistema si devono inserire i contributi delle forze nodali esterne e delle azioni nodali corrispondenti alle reazioni di incastro perfetto. Per evitare errori di segno e' necessario fare una precisazione che riguarda le relazioni usate per il calcolo delle reazioni di incastro perfetto. Se la convenzione di segno utilizzata nelle formule per il calcolo delle reazioni di incastro perfetto e' tale che vengono restituite le reazioni che i nodi esercitano sulle sezioni terminali delle aste allora i relativi valori vanno sommati alle forze esterne nodali senza apportare alcun cambio di segno. Il non cambio di segno deriva dal fatto che le reazioni di incastro perfetto sono un termine aggiuntivo nelle espressioni delle reazioni nodali e quindi compaiono a primo membro nella scrittura delle equazioni di equilibrio nodali ma con il segno negativo perche' nello scrivere le equazioni di equilibrio nodali si devono considerare le azioni che le estremita' delle aste esercitano sui corrispondenti nodi e non le azioni che i nodi esercitano sulle estremita' delle corrispondenti aste. Successivamente tali termini, essendo dei valori noti, vanno portati a secondo membro ove riassumono il segno che avevano come reazioni di incastro perfetto.
Risolto il sistema e ottenuta la soluzione deformativa si possono poi calcolare le azioni elastiche dei nodi sulle sezioni terminali delle aste tramite le seguenti relazioni:
Mjk = M jk+(2⋅E⋅J/s)⋅(2⋅φj+φk-3⋅ψ)
Mkj = Mkj+(2⋅E⋅J/s)⋅(2⋅φk+φj-3⋅ψ)
Hjk = Hjk+N⋅cos α -(6⋅E⋅J/s2)⋅sin α ⋅(φj+φk-2⋅ψ)
Hkj = Hkj-N⋅cos α +(6⋅E⋅J/s2)⋅sin α ⋅(φj+φk-2⋅ψ)
Vjk = Vjk+N⋅sin α +(6⋅E⋅J/s2)⋅cos α ⋅(φj+φk-2⋅ψ)
Vkj = Vkj-N⋅sin α -(6⋅E⋅J/s2)⋅cos α ⋅(φj+φk-2⋅ψ)
ove le reazioni di incastro perfetto sono contraddistinte con il soprassegno.
Si calcolano anche gli spostamenti nodali:
ξj = ξ1-∑ja=1(sa⋅ψa⋅ sin αa)
ηj = η1+∑ja=1(sa⋅ψa⋅ cos αa)
Anche se risulterebbe possibile esprimere sia la rotazione rigida ψ che lo sforzo assiale N in funzione degli spostamenti nodali ξj ηj ξk ηk dei 2 nodi terminali dell'asta nel sistema di riferimento globale (e pervenire cosi' ad un sistema risolvente in cui le incognite risultano rotazioni e spostamenti nodali), il problema puo' essere risolto considerando come incognite le rotazioni nodali, le rotazioni rigide delle aste e gli sforzi assiali N. Per il caso di una trave piegata detto n il numero dei vertici, si puo' dire quanto segue:
- le rotazioni incognite φ sono tante quanti sono i nodi interni, ossia n-2
- le rotazioni rigide ψ sono tante quante sono le aste, ossia n-1. Tuttavia il vincolo dei nodi terminali consente di scrivere 2 equazioni di legame in cui compaiono tutte le n-1 rotazioni rigide. Tramite queste 2 equazioni risulta possibile esprimere le rotazioni rigide di 2 aste (ad esempio le prime 2) in funzione di tutte le altre. In sostanza le rotazioni rigide incognite per una trave piegata sono n-3
- gli sforzi assiali N incogniti sono tante quante sono le aste, ossia n-1
In sostanza le incognite sono n-2+n-3+n-1=3n-6 ossia tante quante sono le equazioni disponibili (3 equazioni per ciascuno degli n-2 nodi interni).
Per una trave piegata si possono esprimere le rotazioni rigide delle prime 2 aste in funzione delle rotazioni rigide delle restanti aste tramite le seguenti relazioni:
ψ1 = ∑n-1j=3[(sin α2⋅cos αj-cos α2⋅sin αj)/(sin α1⋅cos α2-cos α1⋅sin α2)]⋅(sj/s1)⋅ψj
ψ2 = ∑n-1j=3[(sin α1⋅cos αj-cos α1⋅sin αj)/(sin α2⋅cos α1-cos α2⋅sin α1)]⋅(sj/s2)⋅ψj
Queste equazioni di congruenza si riferiscono alla trave piegata soggetta ai carichi esterni di calcolo pero' e' stata scritta considerando la lunghezza iniziale delle varie aste.
Pertanto il metodo di calcolo esposto considera solo la deformazione flessionale e va pertanto applicato solo in quei casi in cui risulta lecito trascurare la deformazione a sforzo assiale.
Se si opera in questo modo non e' consentito che le prime 2 aste della trave piegata risultino una in prosecuzione dell'altra.
Se cosi' fosse risulterebbe α1=α2 e si annullerebbero i denominatori nelle espressioni di ψ1 e ψ2.
Siccome si tratta di una configurazione che non si presenta, a meno che non si voglia forzatamente introdurla, il programma non la gestisce. Volendo gestire questa, o situazioni similari, occorrerebbe prevedere la possibilita' di specificare quali debbono essere le 2 aste per le quali si vogliono esprimere le rotazioni rigide in funzione delle rotazioni rigide delle restanti aste (anziche' assumere preordinatamente le prime 2 aste)
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